Металогичен

Металогично , изследване и анализ на семантиката (връзки между изрази и значения) и синтаксиса (връзки между изрази) на официални езици и формални системи. Той е свързан, но не включва официалното третиране на естествените езици. (За обсъждане на синтаксиса и семантиката на естествените езици вижте лингвистика и семантика.)

Природа, произход и влияния на металогиката

Синтаксис и семантика

Официалният език обикновено изисква набор от правила за формиране - т.е. пълна спецификация на видовете изрази, които се броят като добре оформени формули (изречения или смислени изрази), приложими механично, в смисъл, че машината може да провери дали кандидат отговаря на изискванията. Тази спецификация обикновено съдържа три части: (1) списък на примитивни символи (основни единици), дадени механично, (2) определени комбинации от тези символи, обособени механично като образуващи прости (атомни) изречения и (3) набор от индуктивни клаузи - индуктивни, доколкото те предвиждат, че естествените комбинации от дадени изречения, образувани от такива логически съединителни съединения като дизюнкцията „или“, което се символизира „∨“; „Не“, символизира „∼“; и „за всички“, символизирано „(∀)“, са отново изречения. [„(∀)“ се нарича квантор,както е и „има някои“, символизирано „(∃)“.] Тъй като тези спецификации се отнасят само до символи и техните комбинации, а не до значения, те включват само синтаксиса на езика.

Тълкуването на официален език се определя чрез формулиране на интерпретация на атомните изречения на езика по отношение на област от обекти - т.е. чрез определяне кои обекти от домейна се обозначават с кои константи на езика и кои отношения и функции са обозначава се с кои предикатни букви и функционални символи. По този начин стойността на истината (независимо дали е „вярна“ или „невярна“) на всяко изречение се определя според стандартната интерпретация на логическите съединителни елементи. Например, p · q е вярно тогава и само ако p и qса верни. (Тук точката означава съвпад „и“, а не операцията за умножение „пъти“.) По този начин, при всяко тълкуване на официален език, се получава формална концепция за истината. Истината, значението и обозначението са семантични понятия.

Ако в допълнение се въведе формална система на официален език, възникват определени синтактични понятия - а именно аксиоми, правила за извод и теореми. Определени изречения са отделени като аксиоми. Това са (основните) теореми. Всяко правило за извод е индуктивна клауза, в която се посочва, че ако някои изречения са теореми, тогава друго изречение, свързано с тях по подходящ начин, също е теорема. Ако p и „или не- p или q “ (∼ pq ) са теореми, например, тогава q е теорема. По принцип една теорема е или аксиома, или заключение на правило за извод, чиито предпоставки са теореми.

През 1931 г. Кърт Гьодел прави фундаменталното откритие, че в повечето интересни (или значими) формални системи не всички истински изречения са теореми. От това откритие следва, че семантиката не може да бъде сведена до синтаксис; по този начин синтаксисът, който е тясно свързан с теорията на доказателствата, често трябва да се разграничава от семантиката, която е тясно свързана с теорията на моделите. Грубо казано, синтаксисът - както е замислен във философията на математиката - е клон на теорията на числата, а семантиката е клон на теорията на множествата, който се занимава с природата и връзките на агрегатите.

В исторически план, когато логиката и аксиоматичните системи стават все по-точни, в отговор на желанието за по-голяма яснота се появява тенденция да се обръща по-голямо внимание на синтактичните характеристики на използваните езици, вместо да се концентрира изключително върху интуитивни значения. По този начин логиката, аксиоматичният метод (като този, използван в геометрията) и семиотичният (общата наука за знаците) се сближават към металогичен.

Аксиоматичният метод

Най-известната аксиоматична система е тази на Евклид за геометрия. По начин, подобен на този на Евклид, всяка научна теория включва набор от смислени понятия и колекция от верни или вярващи твърдения. Значението на понятието често може да бъде обяснено или дефинирано по отношение на други понятия и по подобен начин истинността на дадено твърдение или причината да се вярва в него обикновено може да се изясни, като се посочи, че може да се изведе от някои други вече приети твърдения. Аксиоматичният метод протича в последователност от стъпки, започвайки с набор от примитивни понятия и предложения и след това дефинирайки или извеждайки от тях всички други концепции и предложения в теорията.

Разбирането, възникнало през 19-ти век, че съществуват различни възможни геометрии, доведе до желанието да се отдели абстрактната математика от пространствената интуиция; в резултат на това в геометрията на Евклид са разкрити много скрити аксиоми. Тези открития са организирани в по-строга аксиоматична система от Дейвид Хилберт в неговата Grundlagen der Geometrie (1899; Основите на геометрията ). В тази и свързаните с нея системи обаче логическите свързващи елементи и техните свойства се приемат за даденост и остават неявни. Ако логиката се приеме като тази на предикатното смятане, тогава логикът може да стигне до такива формални системи, като тази, обсъдена по-горе.

Хилбърт, Дейвид

След като се получат такива формални системи, е възможно да се трансформират определени семантични проблеми в по-остри синтактични проблеми. Твърди се например, че неевклидовите геометрии трябва да бъдат самосъгласувани системи, тъй като те имат модели (или интерпретации) в евклидовата геометрия, което от своя страна има модел в теорията на реалните числа. Тогава може да се попита как е известно, че теорията на реалните числа е последователна в смисъл, че не може да се изведе противоречие в нея. Очевидно моделирането може да установи само относителна последователност и трябва някъде да спре. След като стигна до формална система (да речем, реални числа), проблемът с последователността тогава има по-остър фокус на синтактичен проблем:това да разгледаме всички възможни доказателства (като синтактични обекти) и да попитаме дали някой от тях някога има (да речем) 0 = 1 като последно изречение.

Като друг пример може да се изследва въпросът дали дадена система е категорична - т.е. дали тя определя по същество уникална интерпретация в смисъл, че всякакви две интерпретации са изоморфни. Този семантичен въпрос може до известна степен да бъде заменен от свързан синтактичен въпрос, този за пълнота: има ли в системата някакво изречение с определена истина-стойност в предвидената интерпретация, така че нито това изречение, нито отрицанието му да са теорема. Въпреки че сега е известно, че семантичните и синтактичните понятия са различни, неясното изискване системата да бъде „адекватна“ се изяснява и от двете понятия. Изследването на такива остри синтактични въпроси като тези за последователността и пълнотата, което беше подчертано от Хилберт, беше наречено от него около 1920 г. „метаматематика“ (или „теория на доказателствата“).