Питагоровата теорема гласи, че сумата от квадратите на катетите на правоъгълен триъгълник е равна на квадрата на хипотенузата (страната, противоположна на правия ъгъл) - в позната алгебрична нотация, a 2 + b 2 = c 2. Вавилонците и египтяни бяха намерили някои цяло число тройки ( a , b , c ), отговарящи на връзката. Питагор (около 580 - около 500 г. пр. Н. Е.) Или някой от неговите последователи може би е бил първият, който е доказал теоремата, която носи неговото име. Евклид (около 300 г. пр. Н. Е.) Предложи умна демонстрация на теоремата на Питагор в своите Елементи , известна като доказателство за вятърната мелница от формата на фигурата.
- Начертайте квадратчета от двете страни на дясното Δ A B C .
- B C H и A C K са прави линии, защото ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, по конструкция.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , с 3.
- A C = A I и A B = A E , по конструкция.
- Следователно, Δ B A I ≅ Δ E A C , според теоремата за страничния ъгъл (виж страничната лента: Мостът на осените), както е подчертано в част (а) на фигурата.
- Равен C F успоредни B D .
- Правоъгълник А G F Е = 2Δ А С Е . Този забележителен резултат произтича от две предварителни теореми: (а) площите на всички триъгълници върху една и съща основа, чийто трети връх лежи навсякъде по неопределено удължена права, успоредна на основата, са равни; и (б) площта на триъгълника е половината от площта на всеки паралелограм (включително всеки правоъгълник) със същата основа и височина.
- Квадрат A I H C = 2Δ B A I , по същата теорема за паралелограма, както в стъпка 8.
- Следователно, правоъгълник A G F E = квадрат A I H C , чрез стъпки 6, 8 и 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , както в стъпки 3 и 4.
- B C = B J и B D = A B , по конструкция, както в стъпка 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , както в стъпка 6 и подчертано в част (b) на фигурата.
- Правоъгълник B D F G = 2Δ C B D , както в стъпка 8.
- Квадрат C K J B = 2Δ J B A , както в стъпка 9.
- Следователно, правоъгълник B D F G = квадрат C K J B , както в стъпка 10.
- Квадрат A B D E = правоъгълник A G F E + правоъгълник B D F G , по конструкция.
- Следователно, квадрат A B D E = квадрат A I H C + квадрат C K J B , чрез стъпки 10 и 16.
Първата книга на Евклидовите елементизапочва с дефиницията на точка и завършва с питагорейската теорема и нейната обратна връзка (ако сумата от квадратите от двете страни на триъгълника е равна на квадрата от третата страна, това трябва да е правоъгълен триъгълник). Това пътуване от конкретна дефиниция до абстрактно и универсално математическо твърдение е възприето като емблематично за развитието на цивилизования живот. Поразителен пример за идентифициране на разсъжденията на Евклид с най-висок израз на мисълта е предложението, направено през 1821 г. от германски физик и астроном, за да започне разговор с жителите на Марс, като им покаже нашите претенции за интелектуална зрялост. Всичко, което трябваше да направим, за да привлечем техния интерес и одобрение, се твърдеше, беше да орем и засадим големи полета във формата на диаграмата на вятърната мелница или, както други предлагаха,да изкопаят канали, предполагащи теоремата на Питагор в Сибир или Сахара, да ги напълнят с масло, да ги подпалят и да очакват отговор. Експериментът не е изпробван, оставяйки нерешено дали жителите на Марс нямат телескоп, геометрия или съществуване.
