Доказателствата на Архимед за формули за площи и обеми определят стандарта за строго третиране на границите до съвремието. Но начинът, по който е открил тези резултати, остава загадка до 1906 г., когато копие от изгубения му трактат „Методът“ е открито в Константинопол (сега Истанбул, Турция).
Оказа се, че Архимед е използвал метод, известен по-късно като принцип на Кавалиери, който включва нарязване на твърди тела (чиито обеми трябва да бъдат сравнени) със семейство успоредни равнини. По-специално, ако всяка равнина от семейството нарязва две твърди части на напречни сечения с еднаква площ, тогава двете твърди тела трябва да имат еднакъв обем ( виж фигурата). Може да се мисли за твърдото като сбор от такива раздели, наречени неделими. Архимед всъщност разработи този принцип, като не само сравнява съответните раздели по площ, но и ги „балансира“ по закона на лоста.
Идеята за нарязване по паралелни равнини е преоткрита в Китай и по-просто доказателство, че обемът на сферата е две трети от обема на нейния циркулиращ цилиндър, като се използват само области, е даден от Liu Hui в обява 263. Крайното доказателство тези редове е даден от италианския математик Бонавентура Кавалиери в неговия Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; „Определен метод за разработване на нова геометрия на непрекъснатите неделими“). Кавалиери наблюдава какво се случва, когато полукълбата и нейният циркулиращ цилиндър са отрязани от семейството равнини, успоредни на основата на цилиндъра: всяка дискообразна част на сферата има същата площ като съответната пръстеновидна част на комплемента на конус в цилиндъра ( вжфигура ). Тогава формулата за обема на сферата следва непосредствено от теоремата на Евдокс, че обемът на конуса е една трета от обема на неговия циркулиращ цилиндър.
