Несъизмеримо

Геометрите, непосредствено следващи Питагор (ок. 580 - около 500 г. пр. Н. Е.), Споделят несъзнателната интуиция, че всякакви две дължини са „съизмерими“ (т.е. измерими) чрез цяло число, кратно на някаква обща единица. Казано по друг начин, те вярваха, че целите (или преброяващи) числа и техните съотношения (рационални числа или фракции) са достатъчни, за да опишат всяко количество. Следователно геометрията се свързва лесно с питагорейската вяра, чийто най-важен принцип е, че реалността по същество е математическа и се основава на цели числа. От особено значение беше манипулацията на съотношенията, която първоначално се проведе в съответствие с правила, потвърдени от аритметиката. Следователно откриването на surds (квадратните корени на числата, които не са квадрати) подкопава питагорейците: вече не може a : b =c : d (където a и b , да речем, са относително прости) предполагат, че a = n c или b = n d , където n е някакво цяло число. Според легендата питагорейският откривател на несъизмерими количества, известен днес като ирационални числа, е бил убит от братята си. Но е трудно да се пази тайна в науката.

Древните гърци не са имали алгебра или индуистко-арабски цифри. Гръцката геометрия се основаваше почти изключително на логически разсъждения, включващи абстрактни диаграми. Следователно откриването на несъизмеримо повече от това нарушава питагорейската представа за света; това доведе до безизходица в математическите разсъждения - безизходица, която продължи, докато геометрите от времето на Платон не въведоха дефиниция за пропорция (съотношение), която отчиташе несъизмеримо. Основните участващи математици бяха атинянинът Теетет (около 417–369 г. пр. Н. Е.), На когото Платон посвети цял диалог, и великият Евдокс от Книд (около 390 г. - около 340 г. пр. Н. Е.), Чието третиране на несъизмеримо оцелява като книга V на Евклид елементи .

Евклид даде следното просто доказателство. Квадрат със страни с дължина 1 единица трябва, съгласно питагорейската теорема, да има диагонал d, който удовлетворява уравнението d 2 = 12 + 12 = 2. Нека се предполага, в съответствие с питагорейското очакване, диагоналът да може да бъде изразено като съотношение на две цели числа, да речем p и q , и че p и q са относително прости, с p > q - с други думи, че съотношението е намалено до най-простата му форма. По този начин p 2 / q 2 = 2. Тогава p 2 = 2 q 2, така че pтрябва да е четно число, да речем 2 r . Вмъквайки 2 r за p в последното уравнение и опростявайки, получаваме q 2 = 2 r 2, откъдето q също трябва да е четно, което противоречи на предположението, че p и q нямат общ коефициент, различен от единството. Следователно, никое съотношение на цели числа - тоест, никакво „рационално число“ според гръцката терминология - не може да изрази квадратния корен от 2. Дължини, така че квадратите, образувани върху тях, да не са равни на квадратни числа (напр. Квадратен корен от √ 2 , Квадратният корен от √ 3, Квадратният корен от √ 5, Квадратният корен от √ 6, ...) бяха наречени „ирационални числа“.